PERSAMAAN LAGRANGE PADA PEGAS

PERSAMAAN LAGRANGE PADA PEGAS

A.    Landasan Teori

Untuk menentukan kedudukan sebuah partikel, kita memerlukan tiga koordinat. Koordinat tersebut dapat berupa koordinat kartesan (x,y,z), koordinat silinder (r,,z), dan koordinat bola (r,,), atau koordinat lain yang sesuai. Jika ada paksaan atau pemulihan gerak pada partikel kita memerlukan sedikitnya tiga koordinat. Jumlah minimun koordinat n yang diperlukan untuk menggambarkan secara lengkap gerak atau konfigurasi dari sistem tersebut pada sembarang waktu diberikan oleh:

n = 3N-m

dimana n adalah jumlah derajat kebebasan dari sistem. n koordiat ini tidak harus koordinat Kartesan, silindre, atau koordinat Kurvilinear yang lainnya. Pada kenyataannya, n dapat sembarang parameter seperti panjang, panjang2, sudut, energi, besaran tanpa dimensi, atau sembarang besaran lainnya, selama besaran-besaran tersebut dapat menggambarkan secara lengkap konfigurasi dari sistem. Istilah koordinat umum diberikan pada sembarang kumpulan besaran yang menggambarkan secara lengkap keadaan atau konfigurasi dari sebuah sistem. N koordinat umum ini biasanya dituliskan sebagai

q₁,q₂,q₃, ..., q_n

n koordinat umum ini tidak dibatasi oleh paksaan. Jika tiap-tiap koordinat dapat bervariasi secara saling bebas dari yang lainnya, sistem dikatakan holonomik. Dalam sebuah sistem nonholonomik semua koordinat tidak dapat bervariasi secara saling bebas. Misal sebuah partikel tunggal dimana koordinat Kartesan x, y dan z merupakan fungsi dari koordinat umum q₁, q₂, q_3, yaitu

            x = x(q₁,q₂,q₃) = y(q_k)

            y= y(q₁,q₂,q₃) = y(q_k)

            z= yq₁,q₂,q₃) = z(q_k)

Fungsi Lagrange :

L = T-V

Keterangan:

L= fungsi Lagrange

T = Energi Kinetik

V = Energi Potensial

Persamaan Lagrange :

B.     Alat dan Bahan

1.      Pegas

2.      Beban berbentuk kotak

3.      Alat tulis

C.    Cara Kerja

1.        Siapkan alat dan bahan

2.        Kaitkan pegas pada beban dan penahan seperti pada gambar di samping

3.        Setelah dikaitkan, beri beban gaya sebesar F maka beban tersebut akan bergerak ke arah kanan dan amati pergerakan beban pada pegas tersebut

D.    Data Pengamatan

1.        Massa = m

2.        Konstanta Pegas = k

3.        Koordinat Umum = x

E.     Pertanyaan

1.      Bagaimana persamaan Lagrange pada pegas tersebut ?

F.     Kesimpulan

Permasalahan sistem pegas dengan massa yang ada di ujung pegas dapat diselesaikan dengan menggunakan  yang dapat dituliskan dengan . Solusi persamaan ini adalah fungsi sinusoidal. Diyakini bahwa untuk menyelesaikan soulusi ini ada metode selain menggunakan  adalah hanya memperhatikan kuantitas fisik energi kinetik dan energi potensial. Solusi umum Lagrangian adalah

      ... (1)

dengan, T = energi kinetik ; V = energi potensial

Sistem pegas

Pada sistem pegas berlaku persamaan Hooke :

Persamaan gerak pegas diberikan oleh persamaan :

  ... (2)

atau dapat ditulis,

                                                           

sehingga, persamaan Euler Lagrangian

                   ... (4)

Solusi persamaan gerak menggunakan metode Lagrange dapat dicari dengan melihat persamaan Euler Lagrange dan persamaan gerak pegas di atas yaitu :

Kemudian dicari solusi masing-masing persamaan (5) menjadi :

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

Jadi solusi persamaan gerak pegas

Dengan metode Lagrange ini kita dapat mencari solusi persamaan gerak dan juga kita dapat mencari persamaan gerak dari solusi persamaan geraknya (lihat persamaan 6), dan persamaan geraknya diberikan oleh persamaan Euler Lagrange (lihat persamaan 4). Diperoleh :