25 Macam Pembuktian Teorema Pythagoras
Siapa yang belum mendengar “Teorema Pythagoras”?sejak
di sekolah dasar kita telah diperkenalkan dengan sifat yang terdapat pada
segitiga siku-siku tersebut. Sebagai tambahan wawasan dan pengetahuan bagi para
guru, berikut ini disajikan penjelasan singkat mengenai sejarah teorema
Phytagoras serta 25 cara membuktikannya.
Teorema Pythagoras merupakan salah satu teorema yang telah
dikenal manusia sejak peradaban kuno. Nama teorema ini diambil dari nama
seorang matematikawan Yunani yang bernama Pythagoras. Pythagoras lahir di pulau
Samos, Yunani, sekitar tahun 570 SM. Sesuai dengan nasehat gurunya Thales,
Pythagoras muda mengunjungi Mesir sekitar tahun 547 SM dan tinggal di sana.
Bangsa Mesir kuno telah mengetahui bahwa segitiga dengan
panjang sisi 3, 4 dan 5 akan membentuk sebuah sudut siku-siku. Mereka menggunakan
tali yang diberi simpul pada beberapa tempat dan menggunakannya untuk membentuk
sudut siku-siku pada bangunan-bangunan mereka termasuk piramid. Diyakini bahwa
mereka hanya mengetahui tentang segitiga dengan sisi 3, 4 dan 5 yang membentuk
segitiga siku-siku, sedangkan teorema yang berlaku secara umum untuk segitiga
siku-siku belum mereka ketahui.
Di
Cina, Tschou-Gun yang hidup sekitar 1100 SM juga mengetahui teorema ini.
Demikian juga di Babylonia, teorema ini telah dikenal pada masa lebih
dari 1000 tahun sebelum Pythagoras. Sebuah keping tanah liat dari Babilonia
pernah ditemukan dan memuat naskah yang kira-kira berbunyi sebagai berikut: “4
is length and 5 the diagonal. What is the breadth?”
Pythagoras-lah yang telah membuat generalisasi dan membuat teorema ini menjadi populer. Secara
singkat teorema Pythagoras berbunyi:
Pada
sebuah segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring (sisi di depan sudut sikusiku)
sama dengan jumlah kuadrat sisi-sisi yang lain.
1.
Pembuktian dari Sekolah Pythagoras
Sifat pada segitiga siku-siku ini sebenarnya telah dikenal
berabad-abad sebelum masa Pythagoras, seperti di Mesopotamia, juga
Cina.Tetapi catatan tertulis pertama yang memberi bukti berasal dari
Pythagoras.Bukti dari sekolah Pythagoras tersebut tersaji pada gambar di
bawah.
Perhatikan bahwa:
Luas daerah hitam pada gambar (1) adalah a2 + b2
Luas daerah hitam pada gambar (2) adalah c2
Dengan demikian a2
+ b2 = c2
2.
Pembuktian lain menggunakan diagram Pythagoras
Bukti berikut ini lebih sederhana tetapi menggunakan sedikit
manipulasi aljabar.Keempat segitiga siku-siku yang kongruen disusun membentuk
gambar di bawah ini.
Dengan
menghitung luas bangun bujur sangkar yang terjadi melalui dua cara akan
diperoleh:
(a + b) = c2
+ 4. ½ ab
a2 + 2ab + b2 = c2 + 2 ab
a2 + b2 = c2
3.
Bukti dari Astronom India Bhaskara (1114 - 1185)
Bukti berikut ini pertama kali terdapat pada karya Bhaskara
(matematikawan India, sekitar abad X).Bangun ABCD di atas berupa
bujursangkar dengan sisi c. Di
dalamnya dibuat empat buah segitiga siku-siku dengan panjang sisi a dan b.
Dengan konstruksi bangun tersebut, maka:
Luas PQRS + 4 x luas ABQ =
luas ABCD
(b – a)2
+ 4 x ½ . ab = c2
b2
– 2ab + a2 + 2ab = c2
a2
+ b2 = c2
4.
Pembuktian Teorema Pythagoras oleh Presiden J. A. Garfield
Pembuktian ini berasal dari J. A. Garfield pada tahun
1876. Luas daerah trapesium di bawah ini dapat dihitung dengan dua cara
sehingga teorema Pythagoras dapat dibuktikan sebagai berikut.
Luas trapesium = (alas + atas)/2. tinggi = (a + b)/2.
(a + b)
Di lain pihak, luas trapesium = 2. ½ ab + ½ c2
Sehingga, (a + b)/2. (a + b) = 2.
½ ab + ½ c2
a2 + 2ab + b2 = 2ab
+ c2
a2 + b2 = c2
5.
Bukti menggunakan Garis Tinggi dan Sifat Segitiga Sebangun
(Pembuktian Baskhara yang Kedua)
Perhatikan gambar berikut:
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga ACD sehingga b/c
= c1/c atau b2 = c .c1
... (1)
Segitiga ABC sebangun dengan segitiga CBD sehingga a/c
= c2/a atau a2 = c .c2
... (2)
Dari (1) dan (2) diperoleh:
a2 + b2 = c .c1 + c .c2
a2 + b2 = c (c1 + c2)
a2 + b2 = c .c
a2 + b2 = c2
6.
Bukti menggunakan Transformasi
Misal segitiga ABC siku-siku di C.
Putarlah segitiga ABC sejauh 900 berlawanan arah dengan putaran
jarum jam dengan pusat rotasi C. Akan diperoleh segitiga A’B’C’ yang berimpit
dengan segitiga ABC.
½ a2 = (1)
½ b2 = (2) + (3)
------------------------------------ +
½ a2 +
½ b2 = (1) + (2) + (3)
= [(1) + (2)] + (3)
= ½ cx
+ ½ cy
= ½ c
(x + y)
= ½ c.c
= ½
c2
Dengan mengalikan dua pada setiap ruas maka akan
diperoleh a2 + b2 = c2
7.
Bukti dengan Dasar Perbandingan lagi
Diberikan segitiga ABC yang siku-siku di C. Kalikan setiap
sisi dengan c. Lalu bentuk dua
segitiga sebangun dengan ABC seperti pada gambar di atas. Dengan perbandingan
sisi pada segitiga-segitiga sebangun akan diperoleh panjang sisi-sisi yang lain
pada bangun di samping. Dari konstruksi tersebut jelas c2 = a2
+ b2.
Bukti sejenis ini terdapat pula dalambeberapa buku dan
publikasi, seperti oleh Birkhoff.
8.
Bukti dengan “Bayangan”
Perhatikan bahwa kelima gambar di bawah ini memuat daerah
gelap dengan luas yang sama (menggunakan konsep kesamaan luas bangun-bangun datar).
9.
Bukti dengan “Putaran”
Perhatikan proses dari diagram di atas.
Luas daerah gambar awal = a2
+ b2 + 2. ½ .ab
Luas daerah gambar akhir = c2
+ 2. ½. Ab
Oleh karena transformasi di atas tidak mengubah ukuran, maka
kedua daerah tersebut sama luasnya, sehingga dengan mengurangi masing-masing
oleh ab atau mengambil kedua bangun
segitiga siku-siku akan diperoleh:
a2 + b2 = c2
(Sumardyono, 2003)
10.
Bukti dengan cara “Geser, Potong, lalu Putar”
Perhatikan bukti geometris berikut ini, dengan cara
menggeser, memotong, dan memutar.
(Sumardyono, 2004)
11.
Bukti dari Euclid
Bukti berikut ini pertama kali diberikan oleh Euclid.Perhatikan
gambar di bawah ini.
DBQE = NLBD .....kedua bangun konruen
= MLBC...... alas sama-sama BL
dengan tinggi tetap BD
= SRBC ...... alas sama-sama BC dengan
tinggi tetap BR
= a2
ADEP = KNDA..... kedua bangun konruen
= KMCA .....alas sama-sama AK dengan
tinggi tetap AD
= UTCA ...... alas sama-sama AC dengan
tinggi tetap AU
= b2
c2 =
BDQE + ADEP
=
a2 +
b2
12.
Bukti dari Leonardo da Vinci
Diberikan segitiga siku-siku ABC.Buatlah segitiga JHI
kongruen dengan ABC.Maka segiempat ABHI, JHBC, ADGC, dan EDGF adalah kongruen.
Bukti teorema Pythagoras dilakukan sebagai berikut:
Luas ADGC + luas EDGF = luas ABHI + luas JHBC
Luas
ADEFGC = luas ABCJHI
Kedua bangun memuat dua segitiga yang kongruen dengan
segitiga ABC, sehingga:
Luas ADEFGC – 2. Luas ABC = luas ABCJHI – 2. Luas ABC
Luas ABED + luas BCGF = luas ACJI
13.
Bukti dengan cara “Tambah lalu Geser”
Susunlah empat segitiga siku-siku yang kongruen dengan
segitiga ABC seperti pada gambar sebelah kiri, lalu tambahkan sebuh bujur sangkar
dengan luas b – a.
Maka diperoleh:
Luas KMNPQR = luas KSQR + luas MNP
= a2
+ b2
Kemudian pindahkan segitiga 1 dan 4 sehingga membentuk
bangun di sebelah kanan.Bangun yang terbentuk adalah bujur sangakar dengan sisi
c, sehingga luasnya c2. (Sumardyono, 2003)
14.
Bukti dari Liu Hui (pada 3 Masehi)
Bukti berikut bersifat geometris.Tetapi Anda dengan mudah
dapat membuktikannya secara aljabar.
15.
Bukti dari Tsabit ibn Qorra
Bukti berikut berasal dari Tsabit ibn Qorra (836-901) dan
merupakan generalisasi Teorema Pythagoras.Diberikan sebarang segitiga ABC.
Buatlah titik A’ dan B’ pada AB sedemikian sehingga <
BA’C = < AB’C = <CAB’ (untuk gambar atas <CAB’ tumpul dan
untuk gambar bawah < CAB’ lancip). Dengan demikian tampak bahwa segitiga
ABC, segitiga CBA’ dan segitiga ACB’ saling sebangun.
Kesebangunan ini
mengakibatkan:
AC/BA
= A’B/CB (pandang segitiga CBA’ dan ABC )
AC/AB
= AB’/AC (pandang segitiga ACB’ dan ABC)
Sehingga
akan diperoleh BC2 + AC2 = AB(A’B + AB’)
Apabila
sudut C siku-siku maka A’ = B’ dan Teorema Pythagoras terpenuhi.
16.
Bukti dari Pappus
Bukti berikut berasal dari Pappus (sekitar 300 M) dan
merupakan suatu generalisasi.Buat sebarang segitiga ABC.Lalu buat sebarang jajargenjang
CADE (di sisi CA) dan sebarang jajargenjang CBFG (di sisi BC). Kemudian panjang
DE dan FG hingga bertemu, katakan di H. Kemudian lukis AL dan BM sejajar dan
sama panjang dengan HC. Maka:
Luas CADE = luas CAUH = luas SLAR
Luas CBFG = luas CBVH = luas SMBR
---------------------------------------------------------------------------
+
Luas CADE + luas CBFG = luas ABML
Bila segitiga ABC adalah segitiga siku-siku (dengan sudut
siku-siku di C) serta jajargenjang di sisi CA dan BC merupakan bujursangkar,
maka akan diperoleh Teorema Pythagoras.
17.
Pembuktian dengan Segitiga Sama Sisi
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan c.
Kemudian
buat segitiga sama sisi dengan panjang a, b, dan c di setiap
sisi-sisinyasehinggaakan tampak seperti gambar berikut.
Dari
gambar di atas,diketahui bahwa luas segitiga sama sisi pada sisi miring sama
dengan jumlah segitiga sama sisi lainnya.
Untuk
segitiga dengan panjang sisi k, l,
dan m maka luas segitiga tersebut
adalah
18.
Pembuktian dengan Identitas Trigonometri Pythagoras
Buat segitiga siku-siku dengan panjang sisi a, b, dan, c
seperti gambar berikut.
Kemudian dengan menggunakan trigonometri untuk menentukan
sinus dan cosinus sudut Ө yaitu sebagai berikut.
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai
identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar. Sehingga pada trigonometri
kita ketahui bahwa
Hubungan antara sinus dan cosinus dinamakan sebagai
identitas trigonometri Pythagoras yang mendasar.Sehingga pada trigonometri kita
ketahui bahwa.
19.
Pembuktian denan Persamaan Differensial
Pertama gambar segitiga siku-siku ABC seperti gambar berikut
b diperpanjang ke titik D yaitu sisi db, c juga diperpanjang
dengan sisi dc. Terdapat dua sisi segitiga yang sebangun yaitu segitiga AED (EA
tegak lurus terhadap sisi miring) dan segitiga ABC seperti gambar berikut.
oleh karena itu rasio atau perbandingan sisi-sisi pada
segitiga tersebut harus sama, yaitu:
Dapat ditulis sebagai berikut
Perhatikan gambar, apabila b = 0, maka a harus berhimpit
terhadap c. Artiya a = c. Maka konstanta = c2 = a2
sehingga c2 = b2 + a2terbukti.
20.
Pembuktian Thabit Ibn Qurra
Buat persegi panjang dengan panjang a dan b, kemudian
disusun berdampingan seperti gambar berikut.
Luas bangun di atas adalah persegi besar dan persegi kecil
yaitu a2 + b2.
Persegi di atas kita gabungkan, kemudian buat garis
sedemikian rupa sehingga akan tampak seperti gambar di bawah, dimana sisi c
menjadi sisi miring.
Selanjutnya segitiga kita potong dan tempatkan di bagian
lain yaitu samping kanan dan bagian atas sehingga akan tampak seperti gambar
berikut.
Bangun yang terbentuk adalah sbuah bujur sangkar dengan luas
c2.
21.
Pembuktian John Kawamura
Pembuktian ini ditemukan oleh siswa SMA yang dilaporkan oleh
Chris Davis, guru geometrinya di Head-Rouce School, Oakland, CA.
Kedua diagonal tegak lurus memiliki panjang c, sehingga
daerah yang sama dengan c2/2 sehingga
c2/2 = Luas bangun ABCD
= Luas BCD + Luas ABD
= a.a/2 +
b.b/2
c2 = a2
+ b2 terbukti
22.
Pembuktian Tao Tong
ABC dan BED dua buah segitiga yang kongruen.E pada AB.
Luas ABD = BD.AF/2 = DE.AB/2
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
(c-x)/2 = b.b/2.x = CF
(diperoleh dari kesamaan BD dan AC pada segitiga BFC dan ABC).
x = a2/2
23.
Pembuktian dengan beberapa segitiga yang sebangun.
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
y/b = b’/c, x/a = a’/c + cx = aa’ + bb’
maka cc’ = aa’ + bb’
24.
Pembuktian dengan dua trapesium yang kongruen
Pembuktianini ditemukan oleh seorang siswa SMA, Jamie deLemos.
Kuas dari trapesium tersebut adalah
(2a+2b)/2.(a+b)
Di lain pihak
2.a.b/2 + 2b.a/2 + 2.c2/2
Dari dua persamaan tersebut diperoleh:
a2 + b2 = c2
25.
Pembuktian dari weininjieda dari Cina
Misal CE = BC = a, CD =AC =b, F titik potong DE dan AB.
Segitiga CED kongruen dengan segitiga ABC, misal DE = AB =
c.
AC tegak lurus dengan
BD
BE
tegak lurus dengan AD, dan
ED
tegak lurus dengan AB. Maka diperoleh
Luas segitiga ABD =
Luas segitiga ABE + Luas segitiga ACD + luas segitiga BCE
Akan diperoleh persmaan
c(c+EF) = EF. C + b2
+ a2
yang bentuk sederhananya
c2 = b2 + a2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar