LIMIT
MATEMATIKA
BAB I
Pengertian limit fungsi
1. Limit fungsi, adalah suatu limit
f(x) dikatakan mendekati A {f(x)}, A} sebagai suatu limit. Limit
juga merupakan konsep dasar atau pengantar dari deferensial dan integral pada
kalkulus .Dalam bahasa matematika limit menjelaskan nilai suatu fungsi jika
didekati dari titik tertentu.
Hal tersebut disebabkan tidak semua fungsi terdefinisi pada
semua titik.
Rumus besar limit :
·
Lim 1n (1+x) =1
X => 0 X
·
Lim alog (1 x X) = 1
X=>0
X 1na
·
Lim (1 + X) 1/X = e
X=>0
Contoh :
1. Lim X2 –
4 = 22 – 4 = 0 = 0
X => 2 X3 + 1 23+1 9
2. Lim /h- 2 = lim
(/h-2)
X => 4 h- 4 = x
=> 4 (/h+ 2) (/h- 2)
=
lim 1 = 1 = 1
/h+ 2
/4+2 4
Contoh soal limit
fungsi :
1.
Limit fungsi aljabar untuk X => a
Lim
X2 – 5X + 6
X => 2
X2 – X – 2
Jawab :
ó lim X2 – 5X +
6
X
=> 2 X2 – X- 2
= Lim (x – 2) (x – 3)
X
=> 2 (x – 2) (x + 1)
= lim x – 3 = 2 – 3 = - 1
X => 2 x
+ 1 2 + 1 3
Jika ada angka sama atas dengan bawah dapat
dicoret .
2. Lim ( 2x + 7 ) (x + 2)
X => (-2) (x + 2)
( x – 6)
Jawab :
ó 2x + 7 = 2. (-2) + 7 = -4 + 7 = _ 3
X
– 6 -2 – 6 - 8 8
2. sifat – sifat limit fungi
Contoh 10.4
Jika f(x) = 2 maka nilai pendekatan f (x) pada saat x mendekati
1 dapat ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 10.6 nilai
pendekatan f(x) = 2, pada saat x mendekati 1
|
x
|
0
|
0,2
|
0,5
|
0,9
|
0,99
|
0,999
|
...
|
1
|
...
|
1,001
|
1,01
|
1,1
|
1,5
|
1,8
|
2
|
|
y
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
....
|
?
|
...
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
2
|
Apa yang kamu peroleh
dari tabel 10.6 ?
Jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai y akan
mendekati 2 dari kiri dan kanan. Hal ini dapat kita tuliskan secara matematika.
Dengan ,
Lim 2 = 2 = lim 2
...................................................................... (1)
X ~> 1- x
~> 1+
Contoh 10.5
Jika f(x) = x maka nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1
dapat ditujukan pada tabel berikut .
Tabel 10.7 nilai
pendekatan f(x) = x, pada saat x mendekati 1
|
X
|
0
|
0,2
|
0,5
|
0,9
|
0,99
|
0,999
|
...
|
1
|
....
|
1,001
|
1,01
|
1,1
|
1,5
|
1,8
|
2
|
|
Y
|
0
|
0,2
|
0,5
|
0,9
|
0,99
|
0,999
|
...
|
?
|
...
|
1,001
|
1,01
|
1,1
|
1,5
|
1,8
|
2
|
Kita dapat mengamati pergerakan nilai-nilai x
dan f (x) pada tabel tersebut.
Perhatikanlah, jika x mendekati 1 dari kiri dan kanan maka nilai
y akan mendekati 1 dari kiri dan kanan . hal ini dapat ditulis secara
matematika , dengan ,
Lim x = 1 = lim x .............................................................................
(2) X => 1- x => 1+
|
Sifat – 1
|
Misalkan f suatu
fungsi dengan f:R ~> R
dan L , c bilangan real.
Lim f(x) = L
jika dan hanya jika lim f(x) = L =
lim f(x)
X ~> c
x ~> c- x ~> c+
Contoh 10.7
Jika f(x) = 2x2 maka
nilai pendekatan f(x) pada saat x mendekati 1 dapat ditunjukkan pada tabel
berikut .
Tabel 10.9 nilai
pendekatan f(x) = 2x2 pada saat x mendekati 1
|
x
|
0
|
0,2
|
0,5
|
0,9
|
0,99
|
0,999
|
...
|
1
|
...
|
1,001
|
1,01
|
1,1
|
1,5
|
1,8
|
2
|
|
y
|
0
|
0,08
|
0,5
|
1,62
|
1,96
|
1,99
|
...
|
?
|
...
|
2,00
|
2,04
|
2,42
|
2
|
2
|
2
|
Berdasarkan Tabel 10.9, lim x = 1 , maka
x ~> 1
lim 2x2 = lim 2 * x* x
x
~> 1
=
lim 2 * lim x * lim x
x~> 1 x~> 1
x~>1
= 2
x 1 x 1
= 2
Perhatikanlah sifat – sifat limit fungsi berikut :
|
sifat - 2
|
|
Misalkan
f dan g adalah fungsi yang mempunyai nilai limit pada x mendekati c, dengan k
dan c adalah bilangan real serta n adalah bilangan bulat positif.
1.
lim k = k 8.
Lim [f(x)] n = [ lim f(x) ] n
x~>c
x~>c
2.
lim x = c
x~>c
3.
lim [kf(x)] = k[lim f(x)] 9.
Lim n/ f(x) = n /lim f(x) , asalkan lim f(x)
x~>c x ~>c x~>c x~>c x~>c
4.
lim [f(x) + g(x) = [ lim f(x)] + [lim g(x)] >0
bilamana n genap
x~>c x~>c x~>
5.
lim[f(x) – g(x)] = [lim f(x)] – [lim g(x)]
x~> c x~>c
x~>c
6.
lim [f(x) x g(x)] = [lim f(x) ] x [lim g(x)]
x~>c x~>c x~>c
7.
lim [f(x)] = [ lim f(x) ] dengan
lim g(x) = 0
x~>c
[g(x)] = [lim g(x)] x~>c
x~>c x~>c
|
Contoh 10.11
Tentukanlah nilai lim X2 – 3X + 2
X~> 2
X2 - 4
Cara l (numerik)
Jika y = X2 – 3x + 2 maka
pendekatan nilai fungsi pada saat x mendekati 2 ditunjukkan pada
X2 – 4
Tabel berikut :
Tabel 10.13 nilai
pendekatan f(x) = X2 – 3X + 2 pada saat x mendekati 2
X2 -
4
|
x
|
1,5
|
1,7
|
1,9
|
1,99
|
1,999
|
...
|
2
|
...
|
2,001
|
2,01
|
2,1
|
2,3
|
2,5
|
|
y
|
0,143
|
0,189
|
0,231
|
0,248
|
0,250
|
...
|
?
|
...
|
0,250
|
0,252
|
0,268
|
0,302
|
0,333
|
Dengan melihat tabel di atas, jika x mendekati 2, maka y = f(x)
akan mendekati 0,25.
Cara ll (Faktorisasi)
Perhatikan bahwa f(x) = X2 – 3X + 2 dapat kita ubah menjadi f(x) = ( x – 2 ) (
x – 1)
X2 -
4 ( x – 2) (x + 2)
Lim X2 – 3X +
2 =
lim ( x – 2) ( x – 1)
x~> 2 X2 – 4
x~> 2 ( x – 2) (x +2)
=
lim ( x – 1 ) karena x =
2
x~>
2 ( x + 2 )
=
1/4
= 0,25
DAFTAR PUSTAKA
Tidak ada komentar:
Posting Komentar